二分查找

# 1. 二分查找思想

猜数字的游戏大家都玩过吧？我说一个0~100之间的数字，你来猜。猜对了，也没有奖励。

那你会怎么猜？从0~100逐个猜？显然这样是不行的。我们都会先说50，大了再猜25，小了再猜75，然后再折半的缩小区间，最终猜出数字。

上面的这种思想，就是二分查找的思想。我们归纳出他的要点：

待查找的数是有序的
每次折半来缩小区间查找

比如我们在已知的有序序列中查找数字7，那么经过以下折半，则三次即可查找完成。

二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <

你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，基本就是一看就会，一写就废；感觉良好，bug难找！有没有 bug 只能靠菩萨保佑。

# 二分查找算法简介

图片内容来自liweiwei1419 (opens new window)

# 2. 二分查找详解

🔈~~ 【声明】：这里并非只有减治才能用<，常规的写法也可以用<。这两种边界两种不同的写法均可使用，只是边界条件不同而已

这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

public int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {  //注意
        int mid = (left + right) >>> 1;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

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JDK8源码的二分查找：

# while循环的条件

1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

文中所有的算法都是基于前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

2、 <=，和 < 结束的临界值是什么

<=：right == left - 1

<=：right == left

# 停止搜索的临界条件

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid;

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但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧，这个集合为空集。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

    //...
    while(left < right) {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

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# 中间值mid

关于取中间数 int mid = (left + right) / 2; 在 left + right 很大的时候会发生整形溢出，一般这样改写：

int mid = left + (right - left) / 2;

这两种写法事实上没有太大的区别，在 left 和 right 都表示数组下标的时候，几乎不会越界，因为绝大多数情况下不会开那么长的数组。

在 Java 中还可以这样写

int mid = (left + right) >>> 1;

表示无符号右移，它表示在 left + right 发生整型溢出的时候，高位补 0，结果依然正确。这一点是从 JDK 的源码中 Arrays.binarySearch() 方法借鉴来的。

在 Python 中不用这样改写，Python 在 left + right 发生整型溢出的时候会自动转成长整形。

这里不建议把 / 2 改写成 >> 1，理由是高级语言在编译期间会做优化，会将 / 2，以及除以2 的方幂的操作，在内部修改为 >>，只需要写程序本来的逻辑就好了。

如果使用位运算，在 C++ 中可能还需要注意运算优先级的问题。

为什么取二分之一？三分之一、五分之四可不可以？

结合二分查找的思路并不难理解，其实只要在数组中间任意找一个位置的元素，如果恰好是目标元素，则直接返回。如果不是根据这个元素的值和目标元素的大小关系，进而在当前位置的左侧还是右侧继续查找。

还有一个细节，/ 2 表示的是下取整，当数组中的元素个数为偶数的时候，int mid = left + (right - left) / 2; 只能取到位于左边的那个元素。

取右边中间数的表达式是（其实就是在括号里 + 1，表示上取整）：

int mid = left + (right - left + 1) / 2;

# 二分的区间划分

为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加1减1，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

left = mid + 1，right = mid - 1我们是将区间划分成了三个部分

left = mid或者right = mid我们划分了两个区间

# 算法的缺陷

此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找算法的拓展。

# 3. 代码模板

# 基础二分查找

基础二分排序 [left <= right]

范围在[left, right]闭区间中，left = 0、right = arr.length - 1；
注意循环条件为 left <= right

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

    int left = 0;
    int right = nums.length - 1;

    while (left <= right) {
        int mid = (left + right) >>> 1;
        if (target == nums[mid]) {
            return mid;
        } else if (target > nums[mid]) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

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这个思路把待搜索区间 [left, right] 分为 3 个部分：

mid 位置（只有 1 个元素）；
[left, mid - 1] 里的所有元素；
[mid + 1, right] 里的所有元素；

循环可以继续的条件是 while (left <= right)，特别地，当 left == right 即当待搜索区间里只有一个元素的时候，查找也必须进行下去；

# 减治思想

【中位数向下取整】

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

    int left = 0;
    int right = nums.length - 1;

    while (left < right) {
        // 选择中位数时下取整
        int mid = (left + right) >>> 1;
        // check(mid)
        if(target > nums[mid]) {
            // 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
            left  = mid + 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid]
            right = mid;
        }
    }
    // 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到 (left = right指向的元素)
    // 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

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【中位数向上取整】

public int search(int[] nums, int target) {
    while (left < right) {
        // 选择中位数时上取整
        int mid = left + (right - left + 1) / 2;
        if (check(mid)) {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid - 1]
            right = mid - 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [mid, right]
            left = mid;
        }
    }
    // 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到。
    // 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
}

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上取整还是下取整？

只有看到分支是 left=mid 与 right=mid-1，才需要将中间数上取整

二分查找算法是典型的「减治思想」的应用，我们使用二分查找将待搜索的区间逐渐缩小，以达到「缩减问题规模」的目的；

这个版本的模板推荐使用的原因是：需要考虑的细节最少，编码时不容易出错。二分得处处考虑周到，不然就是死循环❌！

👉减治思想写二分查找问题 (opens new window)，图片来自weiwei大佬的视频讲解

图片及视频内容来自liweiwei1419 (opens new window)，减治思想写二分查找问题 (opens new window)

理解模板代码的要点：

核心思想：虽然模板有两个，但是核心思想只有一个，那就是：把待搜索的目标元素放在最后判断，每一次循环排除掉不存在目标元素的区间，目的依然是确定下一轮搜索的区间；
特征：while (left < right)，这里使用严格小于 < 表示的临界条件是：当区间里的元素只有 2 个时，依然可以执行循环体。换句话说，退出循环的时候一定有 left == right 成立，这一点在定位元素下标的时候极其有用；
在循环体中，先考虑 nums[mid] 在满足什么条件下不是目标元素，进而考虑两个区间 [left, mid - 1] 以及 [mid + 1, right] 里元素的性质，目的依然是确定下一轮搜索的区间；
注意 1：先考虑什么时候不是解，是一个经验，在绝大多数情况下不易出错，重点还是确定下一轮搜索的区间，由于这一步不容易出错，它的反面（也就是 else 语句的部分），就不用去考虑对应的区间是什么，直接从上一个分支的反面区间得到，进而确定边界如何设置；
根据边界情况，看取中间数的时候是否需要上取整；
注意 2：这一步也依然是根据经验，建议先不要记住结论，在使用这个思想解决问题的过程中，去思考可能产生死循环的原因，进而理解什么时候需要在括号里加 1 ，什么时候不需要；
在退出循环以后，根据情况看是否需要对下标为 left 或者 right 的元素进行单独判断，这一步叫「后处理」。在有些问题中，排除掉所有不符合要求的元素以后，剩下的那 1 个元素就一定是目标元素。如果根据问题的场景，目标元素一定在搜索区间里，那么退出循环以后，可以直接返回 left（或者 right）。

【注意事项】：

先写分支，再决定中间数是否上取整；
在使用多了以后，就很容易记住，只要看到 left = mid ，它对应的取中位数的取法一定是 int mid = left + (right - left + 1) / 2;。

# 4. 寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

public int binarySearch(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    //因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
    int right = nums.length;
    
    //其他代码
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) >>> 1;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (target > nums[mid]) {
            // 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
            left = mid + 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid)
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

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1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?

答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7]，target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们在循环结束后添加判断就能在正确的时候 return -1：

while (left < right) {
    //...
}

// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;

// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

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3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个就是减治的思想，先排除不存在的区间。因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid分割成两个区间，即 [left, mid)或 [mid + 1, right)

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

if (nums[mid] == target) {
    right = mid;
}

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可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回 left 而不是 right？

答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

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因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

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由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
    return -1;
}
   
return left;

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至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

public int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

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这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

# 5. 寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

public int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

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1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

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当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
}

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这样想: mid = left - 1

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0)  return -1;

return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

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4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } 
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

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当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界。

# 6. 模板总结

对于寻找某一元素是否存在的二分搜索，常见的手法是使用左闭右闭「left, right」，right = [数组长度 - 1]

public int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        // 选择中位数时下取整
        int mid = (left + right) >>> 1;
        // check(mid)
        if(target > nums[mid]) {
            // 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
            left  = mid + 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid]
            right = mid;
        }
    }
    // 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到 (left = right指向的元素)
    // 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

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对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开「left, right），right = [数组长度]

【搜所左边界】

public int binarySearch_left(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    //因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
    int right = nums.length;
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) >>> 1;
        if (target > nums[mid]) {
            // 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
            left = mid + 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid)
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

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【搜所右边界】

public static int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    //因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
    int right = nums.length;
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) >>> 1;
        if (target == nums[mid]) {
            left = mid + 1;
        } else if (target > nums[mid]) {
            // 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
            left = mid + 1;
        } else {
            // 下一轮搜索区间是 [left, mid)
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left-1] == target ? left-1 : -1;
}

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left <= right

我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：

public int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

public int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}


public int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

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【参考链接】

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上次更新: 2021/06/27, 10:49:09

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